Setzungsberechnung, Spannungsermittlung mit Steinbrenner-Tafeln

Bauwerke mit ihren Lasten erzeugen im Boden eine Spannungsveränderung. Um Setzungen im Boden aufgrund dieser Spannungsänderung berechnen zu können, bedarf es der Kenntnis der Ausbreitung und Verteilung der Spannungen im Baugrund.

Die Spannungen werden an einem elastisch-isotropen Halbraum berechnet. Der dreidimensionale Raum wird durch eine waagerechte, unendlich ausgedehnte Ebene in zwei Hälften unterteilt. Der obere Teil ist leer, der untere mit einem homogenen Stoff gefüllt, der sich elastisch verhält. Durch einen doppelten senkrechten Schnitt wird die aus diesem Halbraum eine Halbscheibe herausgeschnitten, die zur Lösung sämtlicher ebener Probleme herangezogen wird.

Der Halbraum besitzt die folgenden Eigenschaften:

• das Eigengewicht des Halbraums wird nicht berücksichtigt,
• der Halbraum ist homogen, Elastizitätsmodul E und Querdehnzahl (Poissonzahl) ν sind in einer Richtung innerhalb des Halbraum überall gleich,
• der Halbraum ist isotrop, die mechanischen Eigenschaften E und ν sind in allen Richtungen gleich,
• der Halbraum ist elastisch, das Hooke’sche Gesetz gilt. Spannungsanteile können linear überlagert werden

1.1 Spannungsverteilung im Boden

Die Spannungen im Untergrund infolge der Lasten eines Bauwerks breiten sich mit wachsender Tiefe aus. Es zeigt sich, dass sie unter der Mitte des Bauwerks größer sind als zu den Seiten hin. Analytische Lösungen für unterschiedliche Lasten für den elastischen, isotropen Halbraum stehen zur Verfügung. Dabei werden von unterschiedlichen Autoren Einflusswerte i zur Berechnung der Spannungen im Baugrund in Abhängigkeit von der Größe des Lasteintrags, der betrachteten Tiefe und dem Abstand zum Lasteintrag in tabellarischer Form angegeben.

Bei weiteren Betrachtungen muss noch unterschieden werden zwischen Lasten aus starren und schlaffen Fundamenten.

Ein schlaffes Fundament beschreibt zusammen mit dem anstehenden, belasteten Boden eine gemeinsame Setzungsmulde. Die Sohlspannungsverteilung ist bekannt und entspricht der darüber stehenden Belastung (z.B. aufgeschütteter Erddamm, frisch gegossener Beton).                        

Bei starren Fundamenten ist die vertikale Verschiebung des Fundaments in den Baugrund hinein an jeder Stelle des Fundaments gleich. Es kann sich keine Setzungsmulde mehr ausbilden. Die vertikalen Spannungen müssen daher zum Rand hin zunehmen. Theoretisch treten dort Spannungsspitzen auf, die jedoch auf das Niveau von dem Boden zulässigen Grenzspannungen korrigiert werden.

1.2 Ansatz nach Steinbrenner: Lösung für gleichförmige, rechteckige Lasten

Analytische Lösungen für unterschiedliche Lasten werden u.a. im Baugrundtaschenbuch gegeben. Hierzu gehören Lösungen für senkreche und waagerechte Lasten, Punkt, Linien und Flächenlasten. Es werden in tabellarischer Form bzw. mit Gleichungen Einflusswerte i gegeben, mit denen Spannungen im Boden in unterschiedlichen Tiefen und Abständen zum Lasteintrag berechnet werden können. Autoren dieser Tabellen sind u.a. Terzaghi, Jelinek, Gilboy, Newmark, Boussinesq, Kany und Steinbrenner.  

Häufige Anwendung findet die Lösung nach Steinbrenner. Es kann die setzungserzeugende Spannung σ_z in einer Tiefe z für eine gleichförmige schlaffe Flächenlast mit den Dimensionen a und b unter einem Eckpunkt dieser Flächenlast bestimmt werden. Für unterschiedliche Verhältniswerte von a/b bzw. z/b werden Einflusswerte i gegeben, mit Hilfe derer gemäß der nachfolgenden Gleichung die Spannungen σ_z berechnet werden können.

Voraussetzung für die Anwendung der Tabelle ist, dass „a“ immer die längere Lastflächenseite beschreibt, „b“ die kürzere, d.h. a > b. Für in das Erdreich eingebundene Fundamente ist bei der Berechnung der Spannung σ_z die um die Aushubentlastung reduzierte setzungserzeugende Sohlspannung σ₁ = σ₀ - γ * h anzusetzen.

Die Spannung σ_z,P unter einem beliebigen Punkt P innerhalb bzw. außerhalb der Lastfläche wird berechnet, indem die belastete Grundfläche so in Teilrechtecke zerlegt wird, dass der betrachtete Punkt P jeweils der Eckpunkt von den angrenzenden Teilrechtecken ist. Die Spannungsanteile der Teilrechtecke können aufgrund der zugrunde liegenden Linearität superponiert werden. So wird bei einer Belastung des Baugrunds mit einer gleichmäßig verteilten Spannung σ₀ die Spannung σ_z,P unterhalb des Punkts P innerhalb der Belastungsfläche mit der folgenden Superpositionsvorschrift ermittelt:

Die Superposition umfasst auch die Subtraktion von Spannungsanteilen. So wird bei einer Belastung des Baugrunds mit einer gleichmäßig verteilten Spannung σ₀ die Spannung σ_z,P unterhalb des Punkts P außerhalb der Belastungsfläche mit der folgenden Superpositionsvorschrift ermittelt.

Die Spannungsflächen im unten gezeigten Beispiel mit den Dimensionen a₁/b₁ und a₂/b₂, in deren Eckpunkt der betrachtete Punkt P liegt, überschreiten die eigentliche Lastfläche mit der Folge, dass die berechneten Spannungen σ_z,P rechnerisch überschätzt würden. Die über die Lastfläche hinaus ragenden Lastanteile werden daher durch eine Superposition mit negativen Spannungsanteilen aus den Teilrechtecken a₃/b₃ und a₄/b₄ berücksichtigt, sie werden also nachträglich wieder „subtrahiert“.

Mit Hilfe dieser Lösungsstrategie können an verschiedensten Orten für Belastungsflächen mit unterschiedlichsten Geometrien Spannungen innerhalb und außerhalb der Belastungsflächen mit den Tafeln nach Steinbrenner berechnet werden, vgl. nachfolgende Beispiele.

1.3 Spannungen unterhalb eines starren Fundaments

Die Orte, an denen die Verformungen eines schlaffen und starren Fundaments gleich sind, werden als „kennzeichnende Punkte“ bezeichnet. Die Setzungen starrer Fundamente können daher bei Kenntnis der Spannungen σ_z,K in der Tiefe z unter dem kennzeichnenden Punkt auch mit Hilfe der Berechnungen für schlaffe Fundamente bestimmt werden.

Beim Rechteck liegt der kennzeichnende Punkt K bei 0,74 · a/2 bzw. 0,74 · b/2, beim Kreis im Abstand von 0,845 · r vom Mittelpunkt.

Zur Berechnung der Spannungen unterhalb des kennzeichnenden Punkts stehen Einflusswerte i nach Kany zur Verfügung. Eine Unterteilung der Gesamtlastfläche in Teilrechtecke ist in den Einflusswerten bereits berücksichtigt.

Nähere Ausführungen zum Themenbereich Spannungs- und Setzungsberechnungen in der Geotechnik finden Sie im Themenbereich „Setzungsberechnungen in der Geotechnik“.