Eindimensionale Konsolidierungstheorie

Die Setzungen in Bodenschichten infolge einer Spannungserhöhung setzen sich aus drei Anteilen zusammen:

S_i sind sofort eintretende Setzungen, die keine Volumenänderungen des Bodens nach sich ziehen. Der Boden weicht unter der Belastung seitlich aus. Oftmals wird auch von einer elastischen Setzung gesprochen.

S_c wird als Konsolidierungssetzung bezeichnet. Sie ist verbunden mit einer Volumenänderung im Boden, das im bindigen Boden befindliche Wasser wird ausgepresst und der Boden nimmt eine dichtere Lagerung an. Wegen der sehr geringen Wasserdurchlässigkeit von bindigen Böden kann sich gleich nach einer Belastung kein Gleichgewicht im Korn-zu-Korn-Druck einstellen, im Zuge des Prozesses des Wasserauspressens wird sich jedoch dieses Gleichgewicht mit der Abnahme des Wassergehalts einstellen. Mit der Zeit wird also der Porenwasserüberdruck, der durch die Belastung entstand, wieder abgebaut. Die Setzungen stellen sich also durch den Abbau des Porenwasserüberdrucks ein. S_c wird auch als primäre Setzung bezeichnet. Bei nichtbindigen Böden treten die Primärsetzungen wegen der hohen Durchlässigkeit zum Zeitpunkt t = 0 auf.

Sekundäre Setzungen S_s entstehen durch Kriechvorgänge im Boden, durch lange andauernde viskose Fließerscheinungen der Kornstruktur bedingte Setzungen. Im Zeit-Setzungs-Diagramm erkennt man die sekundären Setzungen durch stetiges Wachsen nach den primären Setzungen. Die Zeit-Setzungs-Linie nähert sich also nicht asymptotisch einer Horizontalen an. 

Nach einer Sofortsetzung (t = 0) beginnt der Konsolidierungsprozess, die Konsolidierungssetzungen wachsen an. Die Grenze zwischen Primär- und Sekundärsetzung ergibt sich im logarithmischen Maßstab aus dem Schnittpunkt der Tangente an den Wendepunt der Zeit-Setzungslinie im Primärsetzungsbereich und der Verlängerung der Geraden, die die Sekundärsetzungen beschriebt.
 

Die Differentialgleichung, die einen eindimensionalen Konsolidierungsvorgang beschreibt, lautet nach Terzaghi (1923):

Diese Gleichung ist eine partielle lineare und homogene Differentialgleichung 2. Ordnung. Der Term c_v ist dabei der sogenannte Verfestigungsbeiwert. Mit der Durchlässigkeit k_f, der Wichte des Wassers γ_w und dem Steifemodul E_s ergibt er sich zu:

Zur Lösung dieser Dgl. wird ein Produktansatz nach Bernoulli verwendet, wobei φ(t) eine nur von der Zeit und ψ(z) eine nur von der Tiefe abhängige Funktion darstellt.

Dadurch wird die partielle Dgl. in zwei gewöhnliche Dgls. aufgespalten. Zur Lösung wird eine Anfangsbedingung (Nullisochrone) und zwei homogene Randbedingungen (Entwässerungsbedingungen) benötigt. Nach einigen Umformungen ergeben sich zwei gewöhnliche Differentialgleichungen

die die folgenden Lösungen besitzen:

Zur Lösung müssen die Entwässerungs-Randbedingungen in diese Gleichungen eingearbeitet werden, damit die Konstanten C1 bis C3 bestimmt werden können. Mit den daraus resultierenden Gleichungen für den Porenwasserüberdruck Δu in Abhängigkeit von der Zeit und der Tiefe z können Isochronen für verschiedene Anfangs- und Randbedingungen berechnet werden. Sie stehen als Graphen in vielen Standardwerken zur Verfügung. 

Die Randbedingungen sind in Abhängigkeit von der an die zu entwässernde Bodenschicht angrenzenden Wasserdurchlässigkeit zu formulieren. Nichtbindige Böden stellen einen offenen Rand dar, Porenwasserüberdrücke können sich dort zu Zeitpunkten t > 0 nach der Belastung abbauen. Bindige Böden und Fels bilden einen geschlossenen Rand, das Porenwasser kann dort nicht austreten. 
 
Die folgenden Skizzen zeigen Randbedingungen für eine halb geschlossene Schicht mit einer einseitigen Entwässerung (links) und ein offenes System mit einer zweiseitigen Entwässerung (rechts). Definitionsgemäß wird die Dicke der zu entwässernden Schicht bei einem halb geschlossenen System mit h = d, bei einer zweiseitigen Entwässerung mit h = 2 d angegeben. 
Dargestellt sind außerdem die Isochronen für eine gleichmäßige, konstante Belastung zum Zeitpunkt t > 0. 

Nach Einarbeitung der Anfangsbedingungen erhält man die folgenden Gleichungen als endgültige Lösung der Differentialgleichung zur Beschreibung des Porenwasserüberdrucks. Für den Fall einer gleichmäßigen unendlichen Flächenlast p auf einer zu entwässernden Schicht (Schichtdicke h = 2 * d) bei zweiseitiger Entwässerung lautet die Lösung der Dgl. mit T als dimensionslosem Zeitfaktor :

Der Wert „d“ beschreibt definitionsgemäß die halbe Höhe der zu konsolidierenden Bodenschicht. 

Für den Fall einer gleichmäßigen unendlichen Flächenlast p auf einer zu entwässernden Schicht (Schichtdicke h = d) bei einseitiger Entwässerung lautet die Lösung der Dgl identisch, jedoch ist zu beachten, dass der Wert „d“ definitionsgemäß die gesamte Höhe der zu konsolidierenden Bodenschicht beschreibt.

Für eine begrenzte Flächenlast mit den resultierenden Porenwasserüberdrücken zum Zeitpunkt t = 0 lauten die Lösungen der Dgl. einer zu entwässernden Schicht bei zweiseitiger (Schichtdicke h = 2 * d)  bzw. einseitiger (Schichtdicke h = d) Entwässerung mit den Porenwasserdrücken am oberen Rand Δu_o und am unteren Rand Δu_u zum Zeitpunkt t = 0:

Die Primärsetzung eines bindigen Bodens s(t) ergibt sich aus dem Volumen des ausgepressten Wassers. Sie strebt einem Grenzwert (Maximalwert = Endsetzung) entgegen s(t = ∞). Deren Verhältnis wird als Konsolidierungsgrad u_K bezeichnet.

Als setzungserzeugende Spannung in einer Bodenschicht zu einer Zeit t wirkt die effektive Spannung σ‘. Die neutrale Spannung u zum Zeitpunkt t setzt sich aus dem hydrostatischen Wasserdruck u₀ und dem Porenwasserüberdruck Δu zusammen, wobei für die Konsolidierungstheorie nur der Porenwasserüberdruck Δu entscheidend ist. Somit gilt für die Konsolidierungsberechnungen

Durch Integration der setzungserzeugenden – effektiven - Spannungen, dividiert durch den Steifemodul erhält man die Setzung einer Bodenschicht. Die Endsetzung kann ermittelt werden:

Für einen betrachteten Zeitpunkt t können die effektiven Spannungen mit

bestimmt werden. Die zugehörigen Setzungen sind

Der Konsolidierungsgrad u_k ergibt sich somit zu

Anschaulich ist der Konsolidierungsgrad u_K das Verhältnis der schraffierten Fläche F_σ‘(z,t) (= effektive Spannungen zur Zeit t) zur Gesamtlastfläche F₁₂₃₄ als wirksame Spannung zur Zeit t = ∞. Exemplarisch wird hier die Verteilung von effektiven Spannungen und Porenwasserüberdruck für eine zu entwässernde Tonschicht mit zwei offenen Rändern aus Sand gezeigt.

Der Konsolidierungsgrad U_k kann in Abhängigkeit von der Zeit t für eine zweiseitige Entwässerung bei linearer Nullisochrone berechnet zu

und für eine einseitige Entwässerung mit

Für unterschiedliche Anfangsbedingungen, die mit der Nullisochrone beschrieben werden, lässt sich die obige Gleichung vereinfachen:

Δu_o = Δu_u: konstante Porenwasserdruckverteilung über die zu entwässernde Bodenschicht

Δu_o = 0: linear mit der Tiefe ansteigende Porenwasserdruckverteilung über die zu entwässernde Bodenschicht

Δu_u = 0: linear mit der Tiefe, auf Null abnehmender Porenwasserdruck über die zu entwässernde Bodenschicht

Für das unten gezeigte Beispiel einer 8 m dicken Tonschicht, die mit einer unbegrenzten Flächenlast von p = 25 kN/m² belastet wird, soll gemäß der eindimensionalen Konsolidierungstheorie mit Hilfe des Programms GGU-CONSOLIDATE der Zeitpunkt für einen Konsolidierungsgrad von U_k = 85 % und die dazugehörige Setzung der Geländeoberkante bestimmt werden.